Équation (2) - Corrigé

Énoncé

En utilisant un argument et le module de \(z\) , résoudre l'équation \(z^4+4=0\) .

Solution

On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et \(\theta\) un argument de \(z\) . On a alors :
\(\begin{align*}z^4+1=0 \Longleftrightarrow z^4=-4 \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z^4 \right\vert = \left\vert -4 \right\vert\\ \arg(z^4) \equiv \arg(-4) \ [2\pi]\end{array} \right.& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z \right\vert^4 = 4\\ 4\arg(z) \equiv \pi \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r^4 = 4\\ 4\theta \equiv \pi \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[4]{1}= \sqrt{2} \ \ \text{ car } r \in \mathbb{R}\\ \theta \equiv \dfrac{\pi}{4} \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)

On en déduit que l'équation \(z^4+4=0\) a quatre solutions :

•  cas où \(r=\sqrt{2}\) et \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{4} \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\) :  \(z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)= 1+i\)  ;
•  cas où \(r=\sqrt{2}\) et \(\theta \equiv \dfrac{3\pi}{4} \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} +i\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)= -1+i\)  ;
•  cas où \(r=\sqrt{2}\) et \(\theta \equiv \dfrac{5\pi}{4} \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\) :  \(z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{5\pi}{4} +i\sin \dfrac{5\pi}{4}\right)= \sqrt{2} \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)= -1-i\)   ;
•  cas où \(r=\sqrt{2}\) et \(\theta \equiv \dfrac{7\pi}{4} \ \left[\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{7\pi}{4} +i\sin \dfrac{7\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=1-i\) .

Finalement :  \(S=\left\lbrace 1+i ; 1-i ; -1+i; -1-i \right\rbrace\) .